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Trabajo PostGrado (Maestría en Matemática ) Universidad Tecnológica del Cibao Oriental, 2024.

Incluye referencia bibliográfica e índice

Esta investigación examina en profundidad la convergencia puntual del método de Gauss- Seidel para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. El estudio comienza explorando los fundamentos teóricos del método, incluyendo su formulación matemática y matricial, y luego analiza rigurosamente las condiciones bajo las cuales se garantiza la convergencia. Se establecen criterios importantes como la dominancia diagonal, la definición positiva de matrices simétricas y el radio espectral de la matriz de iteración. A lo largo del estudio, se realiza una comparación exhaustiva entre el método de Gauss -Seidel y el método de Jacobi, utilizando diversos sistemas de ecuaciones como ejemplos.
Los resultados demuestran que, en general, el método de Gauss-Seidel convergencia rápidamente y requiere menos iteraciones que el método de Jacobi, especialmente para sistemas bien condicionados. Sin embargo, se observa que ambos métodos pueden enfrentar dificultades con sistemas mal condicionados.
La investigación también aborda la influencia de la aproximación inicial en la convergencia del método, revelando que, aunque la elección inicial puede afectar la velocidad de convergencia, el método de Gauss-Seidel muestra una robustez considerable frente a diferentes elecciones iniciales. Además, se exploran aplicaciones prácticas del método en campos como la resolución de ecuaciones de difusión y el análisis de circuitos eléctricos, demostrando su eficacia en problemas del mundo real.
El estudio se extiende al análisis de la tasa de convergencia y la evolución del error a lo largo de las iteraciones, proporcionando una comprensión más profunda del comportamiento del método. También se examinan variantes y optimizaciones del Método de Gauss-Seidel, como el método de Sobre-relajación Sucesiva (SOR) y el Gauss-Seidel por bloques, que pueden ofrecer mejoras significativas en la tasa de convergencia para ciertos tipos de sistemas.
Esta investigación subraya la importancia continua del método de Gauss-Seidel en el análisis numérico, especialmente para la resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales en diversas aplicaciones científicas e ingenieriles. Se proponen direcciones futuras de investigación, incluyendo la extensión del método a sistemas no lineales, la optimización de parámetros, y la exploración de implementaciones paralelas y distribuidas, prometiendo avances adicionales en este campo fundamental de las matemáticas aplicadas.