Trabajo PostGrado (Maestría En Matemática ) Universidad Tecnológica del Cibao Oriental, 2024.

Incluye referencia bibliográfica e índice.

La presente investigación tiene como objetivo general analizar las singularidades que surgen en las ecuaciones diferenciales parciales elípticas. Para alcanzar este
objetivo, se plantearon tres objetivos especícos: analizar el comportamiento de las
soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas en presencia de singularidades aisladas; identicar los métodos existentes para analizar estas singularidades; y
sintetizar los resultados y avances recientes en este campo.
En cuanto a la metodología, se empleó un diseño no experimental y transversal con un enfoque analítico y descriptivo. La investigación fue clasicada como
descriptiva, exploratoria y explicativa. Se utilizó un método deductivo que incluyó la
revisión de literatura, la estructuración del contenido, la búsqueda de información en
universidades y la orientación del asesor.
Los hallazgos alcanzados durante la investigación revelaron la complejidad en
el comportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas en
presencia de singularidades aisladas. Se utilizaron técnicas avanzadas como métodos
asintóticos y teoría de la regularidad, demostrando que las soluciones de la ecuación
de Poisson pueden presentar singularidades logarítmicas o severas según el valor de
α. Además, se encontró que las soluciones de la ecuación de Laplace en dominios cónicos se pueden expresar en series de funciones propias, mientras que en coordenadas
polares exhiben singularidades esenciales en el origen. Las soluciones de la ecuación
de Helmholtz mostraron divergencia logarítmica cerca de singularidades puntuales.
El análisis exhaustivo de los métodos para estudiar singularidades en ecuaciones diferenciales parciales elípticas demostró ser esencial para comprender y manejar
las irregularidades en las soluciones de estas ecuaciones. Métodos como la descomposición en series de Fourier, la expansión asintótica y la teoría de singularidades con
métodos de perturbación permitieron identicar y clasicar singularidades de manera
efectiva. Estos métodos se aplicaron con éxito en situaciones concretas, y el teorema
de regularidad elíptica aseguró la existencia y regularidad de las soluciones bajo condiciones especícas.
Finalmente, se determinó que los avances recientes en el estudio de singularidades en ecuaciones diferenciales parciales elípticas han demostrado la ecacia de
métodos modernos como el análisis microlocal, la teoría de regularidad en espacios
de Sobolev y Besov, y los métodos de homogeneización y multiescala. Estos enfoques
han revolucionado la caracterización de singularidades, mejorado las estimaciones de
regularidad y permitido manejar singularidades en medios heterogéneos. La investigación cumplió con éxito su objetivo de proporcionar una comprensión profunda y detallada de las singularidades en ecuaciones diferenciales parciales elípticas.